题面
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/9981/E
读题
很显然, 这是一道计算几何题, 我们可以运用高中知识求解.
现在我们来分类讨论, 很显然有以下情况: +
r小于等于正三棱锥的内切球半径时, s等0
+ r大于等于正三棱锥的外接球半径时,
s等于正三棱锥的表面积 >
当r介于二者之间时,
我们设球体被三棱锥的一个面所截得到的圆为O,
又有两种情况: > + O内含于三角形中,
此时根据几何知识求得O的半径再计算面积即可 > +
O相交于三角形,
此时要求的面积就是O的面积减去三个弓形的面积,
下面做公式推导
公式推导
首先给出公式:
![\large 4\cdot \left(\pi\cdot \left(r^2-\frac{a^2}{24}\right)-3\cdot \left(arctan\left(\frac{\sqrt{r^2-\frac{a^2}{8}}}{\frac{\sqrt{3}}{6}a}\right)\cdot \left(r^2-\frac{a^2}{24}\right)-{\sqrt{r^2-\frac{a^2}{8}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{6}a} \right ) \right )](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\bg_white&space;\large&space;4\cdot&space;\left(\pi\cdot&space;\left(r^2-\frac{a^2}{24}\right)-3\cdot&space;\left(arctan\left(\frac{\sqrt{r^2-\frac{a^2}{8}}}{\frac{\sqrt{3}}{6}a}\right)\cdot&space;\left(r^2-\frac{a^2}{24}\right)-{\sqrt{r^2-\frac{a^2}{8}}\cdot&space;\frac{\sqrt{3}}{6}a}&space;\right&space;)&space;\right&space;))
我们可以利用弓形面积公式来推导 弓形面积公式:
其中θ为圆心角, r为半径, a为弦长, h为圆心与弦构成的三角形的高
具体推导过程略
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| #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const double pi = acos(-1); double a, r; int main(){ scanf("%lf%lf", &a, &r); if (r >= (sqrt(6) * a) / 4){ printf("%.7lf", sqrt(3) * a * a); } else if (r <= (sqrt(6) * a) / 12){ printf("%.7lf", 0.0); } else if (r * r <= a * a / 8){ double t = (r * r) - a * a / 24.0; double ans = 4 * pi * t; printf("%.7lf", ans); } else{ double t = (r * r) - a * a / 24.0; double s = sqrt(3) * a; double u = sqrt(r * r - a * a / 8); double s1 = pi * t; double s2 = atan(u * 6 / s) * t - u * s / 6; double ans = 4 * (s1 - 3 * s2); printf("%.7lf", ans); } return 0; }
|