0. 预备知识
主要是一些基础知识, 没什么好说的.
比较有意思的有:
习题1-26里面的图, 学到了一些建筑词汇, 比如"望板", 指的是房椽上的木板.- "函数与图形" 一节中提到的绘图器失效的情况, 在使用图形计算器等工具应当注意
- 起初看到
习题3-33~38, 认为其中利率十分之高, 看了答案才明白给的是年化利率
还学习到一个新概念: 连续复利, 即期数无限大的情况下的极限利率, 其公式为: \(A'=A\cdot e^{rt}\), 其中\(A, r, t\)分别为本金, 利率, 期数 - "反函数和对数函数" 一节中提到的里氏震级和声音强度以及半衰期
1. 极限和连续
极限定义
前面的非正式定义对于引出\(\varepsilon-\delta\)语言是大有裨益的, 例题还指出了极限不存在的三种情况: 函数跳跃, 函数趋于\(\pm \infty\), 函数无限震荡.
复习一下极限的\(\varepsilon-\delta\)定义:
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L\quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \mathrm{\ s.t.\ } \left|f(x)-L\right|<\varepsilon \]
求极限和单侧极限
极限法则
\[ L,M,c,k\in \mathbb{R} \quad r,s\in \mathbb{Z} \quad \lim_{x\to c}f(x)=L \quad \lim_{x\to c}g(x)=M \]
\[ \begin{align} 和法则:\quad & \lim_{x\to c}\left(f(x) + g(x)\right)=L+M & \\ 差法则:\quad & \lim_{x\to c}\left(f(x) - g(x)\right)=L-M & \\ 积法则:\quad & \lim_{x\to c}\left(f(x) \cdot g(x)\right)=L \cdot M & \\ 乘常数法则:\quad & \lim_{x\to c}\left(k \cdot f(x)\right)=k \cdot L & \\ 商法则:\quad & \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}, \quad M \neq 0 & \\ 幂法则:\quad & \lim_{x\to c}\left(f(x)\right)^{\frac{r}{s}}=L^{\frac{r}{s}}, \quad s \neq 0 & \end{align} \]
这里的的幂法则只能用于有理幂, 因此看书的时候就有一个疑问: 为什么不能是无理幂? 问了同学才知道是无理幂本身就是用极限(用有理幂去不断逼近)定义的, 自然不适用于幂法则.
也许是为了避免这个问题, 新版《托马斯微积分》中将幂法则拆成了乘方和开方法则.
连续性
首先复习一下连续性的定义:
- \(f(x)\)在\(x=c\)处连续, 当且仅当满足以下条件
- \(f(c)\)存在
- \(\lim_{x\rightarrow c}f(x)\)存在
- \(\lim_{x\rightarrow c}f(x) = f(c)\)
咋看之下\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)处不连续, 但是套用定义可以找到它是连续的, 因此连续性的判断不能凭直觉(初学时的教训被遗忘了).
中值定理
看到"不可靠的图形"一节中的"象素", 怀疑是错别字, 根据“图象”与“图像”中的说法, "图像"是本世纪初才开始逐步替换"图象"的, 考虑到本书的出版时间, 并不属于错别字.
例7中使用中值定理证明存在性是以前没有注意的, 为某些情况下的存在性证明打开了新思路.
习题1.4-31中以为有什么精妙的解法,
和同学讨论之后发现就是提取公因子\(x^{3}\)后求解\(x^{2}-x-5=(x-r_{1})(x-r_{2})\)
习题1.4-32中, 同学教了许多计算技巧:
因式分解相当于求零点, 快速估算的方法.