旋转矩阵
这部分内容在图形学和线性代数中已经接触过了, 这里就不赘述了.
欧氏变换
这里关注一个小的思考题: 欧氏变换中两个平移向量为什么坐标上不是相反数?
简而言之就是因为旋转操作的影响, 两个方向相反的向量体现在坐标上并不是相反数关系, 简单推导如下:
首先很容易得到一对坐标变换公式(符号定义与书中一致): \[ \begin{cases} \boldsymbol{a_{1}} = \boldsymbol{R_{12}}\boldsymbol{a_{2}} + \boldsymbol{t_{12}} \\ \boldsymbol{a_{2}} = \boldsymbol{R_{21}}\boldsymbol{a_{1}} + \boldsymbol{t_{21}} \end{cases} \]
于是就有:
\[ \begin{gather*} \boldsymbol{a_{1}} = \boldsymbol{R_{12}}\boldsymbol{a_{2}} + \boldsymbol{t_{12}} \\ \Downarrow\\ \boldsymbol{R_{21}}\boldsymbol{a_{1}} = \boldsymbol{R_{21}}\boldsymbol{R_{12}}\boldsymbol{a_{2}} + \boldsymbol{R_{21}}\boldsymbol{t_{12}} \\ = \boldsymbol{I}\boldsymbol{a_{2}} + \boldsymbol{R_{21}}\boldsymbol{t_{12}} \\ \Downarrow\\ \boldsymbol{a_{2}} = \boldsymbol{R_{21}}\boldsymbol{a_{1}} - \boldsymbol{R_{21}}\boldsymbol{t_{12}} \end{gather*} \]
从而: \(\boldsymbol{t_{21}} = -\boldsymbol{R_{21}}\boldsymbol{t_{12}}\), 这个结论在公式 (3.14) 中也有体现
旋转向量和欧拉角
旋转向量
关于 Rodrigues' rotation formula 的推导可以点击传送门.
欧拉角
欧拉角中主要是万向锁问题的理解.
万向锁问题在 Quaternions for Computer Graphics 书中的6.5(按民间翻译版的目录)一节中有很清晰的讲解.
简答来说, 万向锁问题是由于欧拉角限制了旋转顺序, 在某些特殊情况下, 旋转轴发生了重合, 导致系统丢失自由度的现象.
四元数
这部分内容比较多, 打算拆成几篇文章慢慢写, 以下是目录:
1.四元数的定义和运算 2.四元数与旋转 3.四元数的转换相似 仿射 射影变换
这部分内容在图形学中已经研究过了, 可以看GAME101等相关课程.