一些符号
狄拉克符号
狄拉克符号有两种态矢量: \(\langle\cdot|\) 和 \(|\cdot\rangle\), 它们分别被称为左矢和右矢, 代表着行向量和列向量
以下是一些常见的表示:
\[ \begin{align*} |0\rangle &= \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}, \\ |1\rangle &= \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}, \\ |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(|0\rangle+|1\rangle\Big) = &\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}, \\ |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(|0\rangle-|1\rangle\Big) = &\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix} \end{align*} \]
\(\langle a |\) 和 \(| b \rangle\) 的内积可简记作: \(\langle a | b \rangle\)
张量积
每个量子比特都是一个向量空间, 因此不能简单的相乘, 张量积就是从各个向量空间创建新的向量空间的操作, 其符号为 \(\otimes\)
\[ \begin{align*} \begin{bmatrix}a \\ b\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}c \\ d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\begin{bmatrix}c \\ d\end{bmatrix} \\\\ b\begin{bmatrix}c \\ d\end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ac \\ ad \\ bc \\ bd\end{bmatrix} \end{align*} \]
量子门
量子门是量子计算模型中的操作量子比特的基本量子线路, 它可以用 \(2\times2\) 或 \(4\times4\) 的酉矩阵表示.
以下是一些常用的量子门
X门
泡利-X门是最简单的量子门, 它会交换量子比特两个基状态的概率幅
\[ X=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \]
H门
Hadamard 门的一个主要功能就是由计算基态产生叠加态
\[ H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \]
酉矩阵
酉矩阵(也叫幺正矩阵, unitary matrix)是共轭转置等于其逆矩阵的复数矩阵, 可理解为正交矩阵在复数上的推广.
\[ A^{\dagger}A=AA^{\dagger}=1 \]
正交矩阵
正交矩阵(orthogonal matrix)是转置矩阵等于其逆矩阵的实数矩阵, 即: \(Q^{T}=Q^{-1}\) 或 \(Q^{T}Q=QQ^{T}=1\)
共轭转置
对复数矩阵\(A\)而言, 其共轭转置\(A^{\dagger}\)满足:
\[ A^{\dagger}_{i,j}=\overline{A_{i,j}} \]
需要注意的是线性代数中常用 \(A^{*}\) 表示共轭转置; 而在量子力学中, 常用\(A^{\dagger}\)表示共轭转置, 而 \(A^{*}\) 被用来表示复数共轭
厄米特矩阵
厄米特矩阵(也叫自伴随矩阵, Hermitian matrix), 其中对称位置的两个元素共轭. 下面这个矩阵就是一个厄米特矩阵.
\[ \begin{bmatrix}3 & 2+i \\ 2-i & 1\end{bmatrix} \]
由定义可知: 实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例; 厄米特矩阵主对角线上元素必然是实数.
矩阵指数
类比 \(e^{x}\) 的幂级数展开形式, 可以给出 \(n \times n\) 的方阵 \(X\) 的矩阵指数:
\[ e^{X} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}X^{k} \]
矩阵指数有一些基本性质:
\[ \begin{align*} & e^{0} = I \\ & \exp{\left( X^{T} \right)} = \left( \exp{X}\right)^{T} \\ & \exp{\left( X^{\dagger} \right)} = \left( \exp{X}\right)^{\dagger} \\ & 如果XY=YX, 那么 e^{X}e^{Y}=e^{X+Y} \\ & 如果Y是可逆矩阵, 那么 e^{YXY^{-1}}=Ye^{X}Y^{-1} \end{align*} \]